Inferencia 1

Teorema Central del Limite

$\bar{x}=\frac{y}{n}$ donde $y=x_1+x_2+...+x_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$ Sea $X$ una variable aleatoria poblacional con función de distribución $f(x)$. Si $n\ge 30$ la v.a. $\bar{x}$ (media de muestreo) sigue aproximadamente normal con media ${\mu }_{\bar{x}}$ y varianza ${\sigma }_{\bar{x}}^2$. En resumen que $x\to N({\mu }_x,{\sigma }_x^2)$ con:

$$\begin{array}{r}{\mu }_{\bar{x}}={\mu }_x\\ \text{y con }\{\begin{array}{l}{\sigma }_{\bar{x}}^2=\frac{{\sigma }_x^2}{n}\text{Si N es desconocida o infinita o el muestreo es con reemplazo}\\ {\sigma }_{\bar{x}}^2=\frac{{\sigma }_x^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})\text{Si N es finita o el muestreo es con reemplazo}\end{array}\end{array}$$

Nota. Si $x$ tiene $f(x)$ normal con media ${\mu }_x$ y varianza ${\sigma }_x^2$, en resumen $x\to N({\mu }_x,{\sigma }_x^2)$ sin importar en tamaño de $n$. La media muestral $\bar{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ Luego $z=\frac{\bar{x}-{\mu }_{\bar{x}}}{{\sigma }_{\bar{x}}}\to N(0,1)$

La distribución muestral de $\bar{x}$

$P(\bar{x}<c)=P(z<\frac{c-{\mu }_x}{{\sigma }_{\bar{x}}})=\varphi (\frac{c-{\mu }_x}{{\sigma }_{\bar{x}}})=\varphi (c^{\prime })$ con $c^{\prime }=\frac{c-{\mu }_x}{{\sigma }_{\bar{x}}}$

$$\begin{array}{r}P(\bar{x}>a)=1-P(\bar{x}\le a)\\ P(b_1<\bar{x}<b_2)=P(\bar{x}<b_2)-P(\bar{x}<b_1>)\\ P(\bar{x}>-a)=1-P(\bar{x}\le -a)=1-[1-P(\bar{x}\le a)]=1-1+P(\bar{x}\le a)=P(\bar{x}\le a)\end{array}$$

Ejercicio 1. Sea una función de densidad (v.a.c.) de una población $X$. Sea $x_1,x_2,...,x_{36}$ una m.a. de $X$

Nota. X es son independientes e idénticamente distribuidas

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}{x}^2& \text{si }-1<x<1\\ 0& \text{e.o.c.}\end{array}n=36$$

1. Hallar $P(0.01<\bar{x}<0.15)$

   \begin{align}    P(0.01<\bar{x}<0.15) \\    P(\bar{x}<0.15)-P(\bar{x}<0.01)    \end{align}    $$ Cumple que $f(x)$ es funcion de probabilidad (f.d.p.) 1. $f(x)\leq 0, f_{R_x}$ 2. $\int_{R_x}{f(x)dx}=1$

\begin{align}

\mu_{\bar{x}}=E(\bar{x})=\int_{R_x}{f(x)dx} \

\text{evaluando} \int_{-1}^{1}{\frac{3}{2}x^3dx}=\int_{-1}^{1} \frac{3}{2}x^3 , dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 \right]_{-1}^{1} \

= \frac{1}{2}(1)^4 - \frac{1}{2}(-1)^4 = 0  \

\sigma^2_x=E(x^2)-E^2(x)=E(x^2)-\sigma^2\

E(x^2)=\int_{-1}^{1}{\frac{3}{2}x^4dx=\frac{3}{5}}\

\sigma^{2}{\bar{x}}=\frac{\sigma^2{x}}{n}=\frac{1}{60}\

\bar{x}\rightarrow N(0,\frac{1}{60})\rightarrow z\rightarrow N(0,1)\

z=\frac{\bar{x}-\mu_x}{\sigma_{\bar{x}}}\Rightarrow P(0.05<\bar{x}<0.15) \

=P(0.05<\bar{x}<0.15) = P(z<\frac{0.15-0}{\sqrt{\frac{1}{60}}})-P(z<\frac{0.05-0}{\sqrt{\frac{1}{60}}})\

=\phi(1.16)-\phi(0.39)=0.877-0.658=0.229

\end{align}

##### _Ejercicio 2._ Sea $X$ una v.a. discreta poblacional de parametros $N=125$ con f.d.p. $f(x)=\frac{2}{3^x} \text{Para } x=0,1,2,...$ Se toma una muestra de parametros $n=30$. Halla la probabilidad de que la media muestral este entre 1.45 y 1.55 Serie de Mc.laren $\sum_{i=0}^{\infty}{r^{i}}=\frac{1}{1-r}; \text{si } |r|<1$ Verificamos que sea funcion de probabilidad

\sum_{x-1=0}^{\infty}{(\frac{1}{3})^{x-1}}\

r = \frac{1}{3} ; i=x-1\

\sum_{i=0}^{\infty}{(r)^{i}} \wedge |r|<1 \Rightarrow \frac{1}{1-r}\

\frac{1}{1-\frac{1}{3}} = 1

\

\therefore f(x) \text{ es funcion de probabilidad}

Encontramos $\mu_{\bar{x}}$

\begin{align}

\mu_{\bar{x}}=E(\bar{x})=\sum_{R_x}{xf(x)}\

=\frac{2}{3}\sum_{x=0}^{\infty}{x(\frac{1}{3})^{x-1}}\

\frac{2}{3} \frac{\sigma \sum_{x-1=0}^{\infty}{x\cdot (\frac{1}{3})^{x-1}}}{\sigma_x}=\frac{2}{3} \frac{\sigma}{\sigma_r}(\frac{1}{1-r})\

\frac{2}{3}(\frac{-1(-1)}{(1-r)^2})=\frac{2}{3}(\frac{1}{(1-r)^2})=\frac{2}{3} [\frac{1}{(1-\frac{1}{3})^2}] = \frac{3}{2} =1.5

\end{align}

Luego encontramos $\sigma_{\bar{x}}^2$

\begin{align}

\sigma_{\bar{x}}^2=E(x^2)-E^2(x)\

E(x^2)=\sum_{x=0}^{\infty}{\frac{2}{3^{(x)^2}} x^2} \

\sum_{x=0}^{\infty}{\frac{2}{3^x}[x(x-1)+x]} \

\frac{2}{3^2}\sum_{x-2=0}^{\infty}{x(x-1)(\frac{1}{3})^{x-2}} + \frac{2}{3^2}\sum_{x-2=0}^{\infty}{x(\frac{1}{3})^{x-1}}\

E(x^2)=\frac{2}{3} \frac{\sigma^2}{\sigma^2r} (\frac{1}{1-r})=\frac{2}{3} \frac{\sigma}{\sigma r}[\frac{1}{(1-r)^2}]\

\frac{4}{9}(\frac{1}{(1-\frac{1}{3})^3})=\frac{3}{2}\

\sigma^2_{\bar{x}}=3 - 1.5^2 = 0.75\

\sigma_{\bar{x}}^2=\frac{\sigma_x^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})=\frac{0.75}{30}(\frac{125-30}{125-1})=0.019

\end{align}