Distribuciones muestrales

Distribución Muestral

Muestra.

Es el subconjunto de unidades de observación de una población objeto de estudio. $u_1,u_2,\dots ,u_n\forall n<N\text{si es muestra sin reemplazo}$

Muestra Aleatoria

Sea $X_i$ una variable aleatoria poblacional con función de distribución $f(X_i)$ . Una muestra aleatoria (m.a.) de $X_i$ es un conjunto de n variables aleatorias (observaciones) denotadas como $X_1,X_2,\dots ,X_n$ tal que cumple dos propiedades.

1. Las $X_i$ tienen la misma distribución de $X$ , es decir, $f(X)=f(x_i)\Rightarrow f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_n)=f(x_1)\cdot f(x_2)\cdot \dots \cdot f(x_n)={\prod }_{i=1}^{n}f(x_i)={\prod }_{i=1}^{n}f(x)=nf(x)$ Son idénticamente distribuidas.
2. Las variables aleatorias $X_1,X_2,\dots ,X_n$ son independientes.

Nota: Si la m.a. viene de una población infinita ó si la m.a. se elige con reemplazo, se cumplen las propiedades anteriores. Pero si la m.a. se selecciona sin reemplazo, las propiedades no se cumplen.

Si $\frac{n}{N}\le 0.05$ se cumple aproximadamente las propiedades. Encuesta de Hogares. Octubre.

Ejercicio

1. De una población normal con media de 13 y varianza 16, se extrae una m.a. de tamaño 10 ( x 1 , x 2 , … , x 10 ) hallar: P x 1 − x 4 + x 8 ≥ 18 = ? ;   N → ∞ x 1 , x 2 , … , x 10 son variables independientes Son idénticamente distribuidas X i ~ N 13 , 16           N 𝜇 x , 𝜎 x 2 V a r y = V a r x 1 − x 4 + x 8 = V x 1 + V x 4 + V x 8 = 48 P x 1 − x 4 + x 8 ≥ 18 = P y ≥ 18  y ~ N 13 , 48 ~ N 𝜇 y , 𝜎 y 2 P y ≥ 18 = P z ≥ 18 − 13 18 = P z ≥ 0 . 72 = 1 − P z < 0 . 72 = 1 − 𝜙 0 . 72 = 1 − 0 , 76 = 0 . 24

Sol.
y = x 1 − x 4 + x 8  E y = E x 1 − x 4 + x 8 = E x 1 − E x 4 + E x 8 = 13 − 13 + 13 = 13 V a r y = V a r x 1 − x 4 + x 8 = V x 1 + V x 4 + V x 8 = 48 P y ≥ 18 = P z ≥ 18 − 13 18 = P z ≥ 0 . 72 = 1 − P z < 0 . 72 = 1 − 𝜙 0 . 72 = 1 − 0 , 76 = 0 . 24
E s t a d í s t i c o .     S e a   x 1 , x 2 , … , x n   u n a   m u e s t r a   a l e a t o r i a   d e   l a   v . a .   X   c o n   d i s t r i b u c c i ó n   f x .   T o d a   f u n c i o n   c u n j u n t o   d e   l a   m .

Toda función conjunta de la m.a. x 1 , x 2 , … , x n se define como un estadístico, es decir. 𝜃 = f x 1 , x 2 , … , x n = f x n Toda poblacion X v.a. contiene resultados parametrales.
Parametros. 𝜇 x = ∑ i = 1 N x i N ,   P x = ∑ i = 1 N A i N ; A i = 1 0 , R x = ∑ i = 1 N A i ∑ i = 1 N B i ,   T x = ∑ i = 1 N X i
Estimadores. Sea 𝜃 ^ = f ( x 1 , x 2 , … , x n ) se denomina también estimador del parametro 𝜃 . 𝜖 = 𝜃 ^ − 𝜃 → 0 Margen de error

x - = 𝜇 x ^ = ∑ i = 1   n x i n ; P x ^ = ∑ i = 1 n A i n ; R x ^ = ∑ i = 1   n A i ∑ i = 1 n B i : T x ^ = N n ∑ i = 1 n x i