Muestreo Aleatorio Simple

(M.A.S. o M.I.A.) A partir de una población de tamaño $N$ finita se toma una muestra aleatoria m.a. de tamaño $n$ con $n<N$ sin reemplazo donde todas las unidades $u_1,u_2,\cdots ,u_N$ tienen la misma probabilidad de ser parte de la muestra, la probabilidad es distinta de $0$

Muestras Posibles

• Sin reemplazo ${}_N{C}_n=\frac{N!}{n!(N-n)!}$
• Con reemplazo ${}_{N+n-1}{C}_n=\frac{(N+n-1)!}{n!(N-1)!}$ Consideramos una sola muestra aleatoria que debe ser representativa de la población

Probabilidades de selección de unidades muestrales

donde

$$\begin{array}{c}\{u_1,u_2,\dots ,u_N\}\text{(Taman˜o }N\text{)}⟶\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}\text{(Taman˜o }n\text{)}\end{array}$$

Prob. de que $u_i\forall i=1,2,\cdots ,n$ sea parte de la muestra

• Con reemplazo: ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{N}=\frac{n}{N}=f$ Fracción de muestreo
• Sin reemplazo: ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{N-i+1}\cdot \frac{N-i+1}{N}=\frac{n}{N}=f$

Variable Auxiliar $e_i$

$$e_i=\{\begin{array}{ll}1,& u_i\in m\text{con prob.}{\pi }_i=\frac{n}{N}=f\\ 0,& u_i\notin m\text{con prob.}1-{\pi }_i=1-\frac{n}{N}\end{array}$$

Valor esperado de $e_i$

$$E(e_i)=\sum _{R_{e_i}}{e}_{i}P(e_i)=0P(e_i=0)+1P(e_i=1)={\pi }_i=\frac{n}{N}=f$$ $$E(e_i^2)=\sum _{R_{e_i}}{e}_i^{2}P(e_i)={\pi }_i=\frac{n}{N}=f$$

Varianza de $e_i$

$$V(e_i)=E(e_i^2)-E(e_i{)}^2=f-f^2=f(1-f)$$ \begin{array} e_{i}e_{j}=\begin{cases} 1, & (u_{i},u_{j}) \in m \quad \text{con prob.} \pi_{ij}\\ 0, & (u_{i},u_{j}) \notin m \quad \text{con prob.} 1-\pi_{ij} \end{cases} \\ P(u_{i}\cap u_{j})=P(u_{i})P\left( \frac{u_{j}}{u_{i}} \right) \\ \pi_{ij}=\frac{n}{N}\left( \frac{{n-1}}{N-1} \right) \\ Cov(e_{i},e_{j})=E(e_{i}e_{j})-E(e_{i})-E(e_{j}) \\ E(e_{i},e_{j})=\sum_{R_{e_{i}e_{j}}}e_{i}e_{j}P(e_{i},e_{j})=0(0)P(e_{i}=0\wedge e_{j}=0) + 0(1)P(e_{i}=1 \wedge e_{j}=0) + 1(0)P(e_{i}=0 \wedge e_{j}=1) + 1(1)P(e_{i}=1 \wedge e_{j}=1)C= \\ P(e_{i}=1 \wedge e_{j}=1)=\pi_{ij}=\frac{n}{N}\left( \frac{{n-1}}{N-1} \right) \end{array}

donde

• ${\pi }_i$ es la probabilidad simple
• ${\pi }_{ij}$ es la probabilidad conjunta

Propiedades

1. ${\sum }_{i=1}^N{\pi }_i=n\because {\sum }_{i=1}^N\frac{n}{N}=\frac{nN}{N}=n$
2. ${\sum }_{i=1,j\ne i}^N{\pi }_i=n-{\pi }_j$
3. ${\sum }_{i=1,i\ne j}^N{\pi }_{ij}=(n-1){\pi }_j$ $\because j=k\to {\sum }_{i=1,i\ne j}^N{\pi }_{ij}={\sum }_{i=1,i\ne j}^N\frac{n}{N}\left(\frac{n-1}{N-1}\right)=(N-1)\frac{n}{N}\frac{n-1}{N-1}=\frac{n(n-1)}{N}=(n-1){\pi }_j$
4. ${\sum }_{i=1,i\ne j}^N({\pi }_{ij}-{\pi }_i{\pi }_j)=-{\pi }_j(1-{\pi }_i)$

Indicador	Parametro	Estimador 1
Media	${\mu }_x=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{x}_i$	$\widehat{{\mu }_x}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^n\frac{x_i}{{\pi }_i}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^n\frac{x_1}{\frac{n}{N}}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$
Total	$T_x={\sum }_{i=1}^N{x}_i=N{\mu }_x$	$\widehat{T_x}={\sum }_{i=1}^n\frac{x_i}{{\pi }_i}=\frac{N}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$
Proporcion	$P_x=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{A}_i$	$\widehat{P_x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{A}_i$ donde $A_i=\{\begin{array}{ll}1,& A_i\in \text{clase}asd\\ 0,& A_i\notin \text{clase}\end{array}$
Razón	$R_x=\frac{{\sum }_{i=1}^N{A}_i}{{\sum }_{i=1}^N{B}_i}$	$R_x=\frac{{\sum }_{i=1}^n{A}_i}{{\sum }_{i=1}^n{B}_i}$

Horvitz y Thompson $\hat{\theta }={\sum }_{i=1}^n{c}_i{x}_i\wedge \theta ={\sum }_{i=1}^N{x}_i$

\begin{array} E\left( \sum_{i=1}^{n}c_{i}x_{i} \right)=\sum_{i=1}^{N}x_{i}\\ E\left( \sum_{i=1}^{N}c_{i}x_{i}e_{i} \right)=\sum_{i=1}^{N}c_{i}x_{i}E(e_{i}) = \sum_{i=1}^{N}x_{i}\\ \sum_{i=1}^{N}c_{i}x_{i}\pi_{i}= \sum_{i=1}^{N}x_{i}\\ c_{i}\pi_{i}=1 \implies c_{i}=\frac{1}{\pi_{i}} \end{array}

1. $E(\widehat{{\mu }_x})={\mu }_x$ $\widehat{{\mu }_x}=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^n\frac{x_i}{{\pi }_i}$

2. $E(\widehat{Tx})=Tx$ $\widehat{Tx}={\sum }_{i=1}^n\frac{x_i}{{\pi }_i}$

3. $E(\widehat{Px})=Px$ $\widehat{Px}={\sum }_{i=1}^n{A}_i$

Dada una encuestas por muestreo a una poblacion de 200 hogares, se les pregunta si tienen o no servicio de internet a domicilio las respuestas son $A_i=0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1\text{donde 0 = No y 1 = Si}n=23N=200$ Estimar la proporción de hogares que tienen servicio de Internet a domicilio y varianza de la proporción

Footnotes

1. Mediante Muestreo Aleatorio Simple Los estimadores $\widehat{{\mu }_x},\widehat{T_x},\widehat{P_x}$ son insesgados ↩