- Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. 1.1 Matrices. 1.2 Operaciones con matrices. 1.3 Tipos de matrices. 1.4 Operaciones y matrices elementales. 1.5 Factorización triangular LU. 1.6 Ecuaciones lineales y sistemas: eliminación gaussiana y eliminación de Gauss-Jordan. 1.7 Inversión de matrices.
- Determinantes. 2.1 Determinantes. 2.2 Propiedades de los determinantes. 2.3 Regla de Cramer. 2.4Inversión de matrices.
Definición 2.1.1D Vector renglón de n componentes Un vector de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera: (x1, x2 , … , x n)
Álgebra Lineal - 7ma Edición - Stanley l. Grossman, página 65
Definición 2.1.2D Vector columna de n componentes Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera: % ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 2 x x x n (2.1.2)
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Cualquier vector cuyos elementos sean todos cero se denomina vector cero.
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Definición 2.1.3D El símbolo Rn Se usa el símbolo Rn para denotar al conjunto de todos los vectores de dimensión n % ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 2 a a a n , donde cada ai es un número real.
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Definición 2.1.4D El símbolo Cn De manera similar, se usa el símbolo Cn para denotar al conjunto de todos los vectores de dimensión n % ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 2 c c cn , donde cada c i es un número complejo (ver apéndice B sobre números complejos).
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Definición 2.1.6D Igualdad de matrices Dos matrices A 5 (aij) y B 5 (bij) son iguales si 1) son del mismo tamaño y 2) las componentes correspondientes son iguales.
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Definición 2.1.7D Suma de matrices Sean A 5 (a ij) y B 5 (bij) dos matrices m 3 n. Entonces la suma de A y B es la matriz m 3 n, A 1 B dada por ( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 5 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 12 11 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 A B a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ij ij n n n n m m m m mn mn (2.1.4) Es decir, A 1 B es la matriz m 3 n que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A y B.
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Definición 2.1.8D Multiplicación de una matriz por un escalar Si A 5 (aij) es una matriz de m 3 n y si a es un escalar, entonces la matriz m 3 n, aA, está dada por
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Teorema 2.1.1 Sean A, B y C tres matrices de m 3 n y sean a y b dos escalares. Entonces: iii) A 1 0 5 A iii) 0A 5 0 iiii) A 1 B 5 B 1 A (ley conmutativa para la suma de matrices) iiv) (A 1 B) 1 C 5 A 1 (B 1 C) (ley asociativa para la suma de matrices) iiv) a(A 1 B) 5 aA 1 aB (ley distributiva para la multiplicación por un escalar) ivi) 1A 5 A vii) (a 1 b)A 5 aA 1 bA
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Resumen 2.1
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El sistema tendrá una solución única si el determinante de la matriz AAA es distinto de cero