Del capitulo 1 deben realizar todos los ejercicios. De cada pregunta realizar los incisos de posición par
Práctica 1. Generalidades
- Encuentre el orden de cada una de las siguientes ecuaciones La ED es de 3 orden dado que mayor derivada es La ED es de 3 orden dado que mayor derivada es
- Verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial dada sobre algún intervalo, para cualquier valor de las constantes arbitrarias que aparecen en la función. \begin{align} y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{3} \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{c}{x} \right)\\ y' = \frac{2x}{3} - \frac{c}{x^2} \tag{1}\\ \text{Reemplazando (1) en la ecuación solución} \\ x \left( \frac{2x}{3} - \frac{c}{x^2} \right) + \left( \frac{x^2}{3} + \frac{c}{x} \right) = x^2 \\ x \left( \frac{2x}{3} \right) - x \left( \frac{c}{x^2} \right) + \frac{x^2}{3} + \frac{c}{x} = x^2 \\ \frac{2x^2}{3} - \frac{c}{x} + \frac{x^2}{3} + \frac{c}{x} = x^2 \\ \frac{2x^2}{3} + \frac{x^2}{3} = x^2 \\ \frac{3x^2}{3} = x^2 \\ x^2 = x^2 \\ \therefore \text{La ecuación es solución} \end{align} \begin{align}
y’=\frac{d}{dx}\left( \frac{1+ce^{-x^{2}/2}}{1-ce^{-x^{2}/2}} \right) \ y’=\frac{(1-ce^{-x^{2}/2})(1+ce^{-x^{2}/2})’-(1+ce^{-x^{2}/2})(1-ce^{-x^{2}/2})’}{(1-ce^{-x^{2}/2})^{2}} \ y’=\frac{(1-ce^{-x^{2}/2})(cxe^{-x^{2}/2})-(1+ce^{-x^{2}/2})(-cxe^{-x^{2}/2})}{(1-ce^{-x^{2}/2})^{2}} \ y’=\frac{()}{} \end{align} $f) \quad e^{xy} + y = x − 1, y′ = \frac{e^{−xy} − y}{e^{−xy} + x}$ \begin{align} y=x-1-e^{xy} \tag{1} \ y’=1-0-ye^{xy} \tag{2} \ \text{Reemplazar (1) y (2) en la ecuación} \ 1-ye^{xy}=\frac{}{} \end{align} $h)\text{ y }j) \quad y = e^{−x^{2}} \int_{0}^{x} e^{t^{2}}dt + Ce^{−x^{2}},\quad y′ + 2xy = 1$ 3. Encuentre todas las soluciones de la ecuación dada $b) \quad y'=x\ln x$ \begin{align} \frac{dy}{dx}=x\ln x \ dy=x\ln xdx \ \int dy=\int x\ln xdx \ \text{Nota. }\int udv=uv-\int vdu; \quad u=\ln x \quad du=\frac{1}{x}\quad dv=xdx \quad v=\frac{x^{2}}{2}\ y(x)=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\int \frac{x^{2}}{2} \frac{1}{x}dx \ y(x)=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int xdx \ y(x)=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}+C \ y(x)=\frac{x^{2}}{2}\ln x- \frac{x^{2}}{4}+C \quad\blacksquare \end{align}
$d) \quad y''=x\cos x$ $$ \begin{align} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=x\cos x \\ \int\frac{d^{2}y}{dx^{2}}dx=\int x\cos xdx \\ \frac{dy}{dx}=x\sin x-\int\sin xdx \\ \frac{dy}{dx}=x\sin x+\cos x+C \\ \int dy=\int(x\sin x+\cos x+C)dx \\ y=\int x\sin xdx+\int \cos xdx+\int Cdx \\ y=-x\cos x+\sin x+\sin x+C_{1}x+C_{2} \\ y(x)=-x\cos x+2\sin x+C_{1}x+C_{2} \end{align}$f) \quad y''' = -\cos x$
$$
\begin{align} \frac{d^{3}y}{dx^{3}}=-\cos x \ \int\frac{d^{3}y}{dx^{3}}dx=-\cos xdx \ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\sin x+C_{1} \ \int \frac{d^{2}y}{dx^{2}}dx=-\int \sin xdx+\int C_{1}dx \ \frac{dy}{dx}=\cos x+C_{2}+xC_{1} \ \int \frac{dy}{dx}dx=\int \cos xdx+\int C_{2}dx+\int xC_{1}dx \ y=\sin x+C_{3}+xC_{2}+\frac{x^{2}}{2}C_{1} \ y(x)=\sin x+\frac{x^{2}}{2}C_{1}+xC_{2}+C_{3} \quad \blacksquare \end{align}
$h) \quad y'''= 7e^{4x}$ $$ \begin{align} \frac{d^{3}y}{dx^{3}}=7e^{4x} \\ \int \frac{d^{3}y}{dx^{3}}dx=7\int e^{4x}dx \\ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{7}{4}e^{4x}+C_{1} \\ \int\frac{d^{2}y}{dx^{2}}dx=\frac{7}{4}\int e^{4x}dx+\int C_{1}dx \\ \frac{dy}{dx}=\frac{7}{16}e^{4x}+xC_{1}+C_{2} \\ \int \frac{dy}{dx}dx=\frac{7}{16}\int e^{4x}dx+C_{1}\int xdx+C_{2}\int dx \\ y(x)=\frac{7}{64}e^{4x}+\frac{x^{2}}{2}C_{1}+xC_{2}+C_{3} \quad \blacksquare \end{align}- Teorema de Picard. Si y son funciones continuas en una región ℜ, entonces, por cada punto en el interior de ℜ, pasará una curva integral única de la ecuación. En los problemas que siguen determine si el teorema de existencia y unicidad (Picard) implica que el problema de valor inicial dado tiene solución única.
\begin{align} y’+P(x)y=Q(x) \quad \mu(x)=e^{\int P(x)dx} \end{align}
$d)\quad y′ = \frac{x}{y},\quad y(1) = 0$ $$ \begin{align} \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y} \\ ydy=xdx \\ \int ydy=\int xdx \\ \frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+C_{1} \\ y^{2}=x^{2}+2C_{1} \\ \text{aplicamos la condicion inicial} \\ 0=1+2C_{1} \\ 2C_{1}=-1 \\ C_{1}=-\frac{1}{2} \\ \text{Sustituimos en la ecuacion general} \\ y^{2}=x^{2}-1 \implies y=\pm\sqrt{ x^{2}-1 } \quad \blacksquare \end{align}$f)\quad yy'-4x=0; \quad y(2)=-\pi$
$$
\begin{align} y\frac{dy}{dx}=4x \ ydy=4xdx \ \int ydy=\int4xdx \ \frac{y^{2}}{2}=2x^{2}+C_{1} \ y^{2}=4x^{2}+2C_{1} \ \text{aplicamos la condicion inicial} \ (-\pi)^{2}=4(2)^{2}+2C_{1} \ (-\pi)^{2}-16=2C_{1} \ C_{1}=\frac{(-\pi)^{2}-16}{2} \ \text{aplicamos en la ecuacion general} \ y^{2}=4x^{2}+(-\pi)^{2}-16 \ y=\pm \sqrt{4x^{2}+\pi^{2}-16 } \quad\blacksquare \end{align}
# Practica 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer orden ### Ecuaciones de variable separable A) En los ejercicios que siguen encuentre la solución general $2.\quad \tan \sin ^{2}ydx+\cos ^{2}x\cot ydy=0$ $4.\quad xy'-y=y^{2}$ $6.\quad xy'+y\ln x=0$ $8.\quad xy'+3y=0$\begin{align} \frac{dy}{dx}x+3y=0 \ \frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=0 \ \text{factor de integración} \ \mu(x)=e^{\int \frac{3}{x}dx}=e^{\ln(x^{3})}=x^{3} \ \text{aplicamos en la ecuacion} \ x^{3}\frac{dy}{dx}+3x^{2}y=0 \end{align}
$10.\quad x^{2}y'+y=0itemxyy'$ $12.\quad y'\tan x=y$\begin{align} \frac{dy}{dx}\tan x=y \ \int\frac{1}{y}dy=\int\frac{1}{\tan x}dx \ \int \frac{1}{y}dy=\int \cot xdx \ \ln y=\ln sin(x) +C_{1} \ y=\sin x +e^{C_{1}} \quad \blacksquare \end{align}
### Ecuaciones Homogéneas ### Ecuaciones Exactas ### Factores de Integración ### Ecuaciones Lineales ### Ecuación Bernoulli ### Ecuación de Riccati ### Ecuaciones de Lagrange y Clairaut ### Reducción de orden ### Trayectorias Ortogonales ### Problemas Geométricos-Persecución-Otros #### Varios #### Problemas. Ecuaciones de Primer Orden #### Problemas de persecución # Práctica 3. Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden asd